要するに utf8 になってしまっているのを utf8mb4 にしたい、とか。
以前の担当者とかが何も知らないまま utf8 に設定していて、あるとき絵文字を入力して問題が発覚すること、ありますよね…。

現在の設定の確認

データベース自体の設定を確認。

show variables like "chara%";

あとは /etc/my.cnf の次のような記述あたり（設定されていれば）。

[mysqld]
character-set-server=utf8mb4
collation_server=utf8mb4_unicode_ci
[client]
default-character-set=utf8mb4

各テーブルの設定については show create table するなりする。

変更していく手順

大丈夫だと思うけれど、作業前にバックアップを忘れずに。

my.cnfの書き換え

MySQL 5.7.7以前を利用している場合、/etc/my.cnfの設定を変更してrestartする。5.7.7以降では以下の設定がデフォルトなので必要ない。

innodb_large_prefix = ON
innodb_file_format = Barracuda
innodb_file_format_max = Barracuda

Index column size too large. The maximum column size is 767 bytes. のエラーが出ないように拡張する。Barracudaはinnodb_large_prefixを利用するために必要。

databaseの文字コード変更

データベース自体の文字コード変更。

alter database <DBNAME> character set utf8mb4 collate utf8mb4_general_ci;

テーブルごとのrow_formatと文字コード変更

テーブルのrow_format変更（MySQL 5.7.9以前を利用している場合）と文字コード変更（それぞれのテーブルに対して実施）。5.7.9以降はROW_FORMAT=DYNAMICがデフォルトなので変更の必要なし。

alter table <TABLENAME> ROW_FORMAT=DYNAMIC;
alter table <TABLENAME> convert to character set utf8mb4 collate utf8mb4_general_ci;

クライアントアプリケーションの文字コード変更

もしWebアプリケーション側で接続時に文字コードを指定しているのであれば、その文字コード指定も改めて変更する。